Rechner für lineare Regression
Passen Sie eine Gerade an Ihre Daten an. Geben Sie zusammengehörige X- und Y-Werte ein und erhalten Sie Regressionsgleichung und R².
So rechnen Sie selbst nachWerte eingeben
Die Ergebnisse werden während der Eingabe aktualisiert.
So geben Sie Ihre Daten ein
Geben Sie die erklärenden Werte X in das erste und die zugehörigen Zielwerte Y in das zweite Feld ein. Trennen Sie die Zahlen durch Kommas oder Zeilenumbrüche. Beide Listen müssen gleich lang und identisch geordnet sein, damit jeweils die richtigen Werte ein Paar bilden. Die Bezeichnung als erklärende Größe bedeutet noch keinen nachgewiesenen ursächlichen Einfluss.
R² (Modellanpassung)
Prüfen Sie Ihre Eingaben
Geben Sie gültige Werte ein, um Ihr Ergebnis zu sehen. Die Hinweise an den Feldern und die Anleitung zur Dateneingabe helfen Ihnen dabei.
Dieser Rechner untersucht zwei zusammengehörige Zahlenreihen, etwa Lernstunden und Prüfungspunkte, und bestimmt die am besten passende Gerade. Er zeigt, wie sich die Zielgröße im Mittel verändert, wenn die erklärende Größe steigt, wie gut die Gerade zu den Daten passt und wie sich daraus Vorhersagen ableiten lassen. So wird aus einzelnen Messpunkten ein verständlicher linearer Trend.
Selbst nachrechnen
Beispiel: Passen Sie eine Gerade an die Wertepaare (1, 2), (2, 4) und (3, 3) an.
Gehen Sie das Rechenbeispiel durch und wiederholen Sie die Schritte anschließend mit Ihren eigenen Zahlen.
Mittelwerte sowie Summen der Quadrate und Kreuzprodukte bestimmen
Mittelwert X = 2; Mittelwert Y = 3; Sxx = (−1)² + 0² + 1² = 2; Sxy = (−1 × −1) + (0 × 1) + (1 × 0) = 1Sxx ist die Summe der quadrierten X-Abweichungen vom Mittelwert. Sxy ist die Summe der Produkte zusammengehöriger X- und Y-Abweichungen.
Steigung berechnen
Steigung b = Sxy ÷ Sxx = 1 ÷ 2 = 0,5Achsenabschnitt und Geradengleichung bestimmen
Achsenabschnitt a = Mittelwert Y − b × Mittelwert X = 3 − 0,5 × 2 = 2; vorhergesagtes Y = 2 + 0,5XAnteil der erklärten Streuung berechnen
Syy = (−1)² + 1² + 0² = 2; R² = Sxy² ÷ (Sxx × Syy) = 1 ÷ 4 = 0,25Teststatistik der angepassten Geraden prüfen
F = R² × (n − 2) ÷ (1 − R²) = 0,25 × 1 ÷ 0,75 ≈ 0,3333Die Wahrscheinlichkeit im oberen Bereich der F-Verteilung mit 1 und 1 Freiheitsgrad beträgt etwa 0,6667. Sie wird aus einer Tabelle oder durch numerische Berechnung bestimmt.
Der p-Wert setzt unabhängige, annähernd normalverteilte Fehler mit konstanter Varianz voraus. Verwenden Sie die angepasste Gerade nicht unkritisch für Vorhersagen weit außerhalb der beobachteten X-Werte.
Ergebnis im Rechner überprüfenIn PaperSurvey.io enthalten
Vergleichen Sie zwei numerische Skalen im erweiterten Modus, um die Regressionsgleichung, R² und den p-Wert der Regression abzulesen.
Anwendungsbereiche
- Lehrkräfte: Eine Lehrkraft untersucht, wie die Lernstunden ihrer Schülerinnen und Schüler mit den Prüfungsergebnissen zusammenhängen.
- Kleine Unternehmen: Ein Geschäftsinhaber prüft, ob höhere monatliche Werbeausgaben mit höheren Umsätzen einhergehen.
- Veranstaltende: Eine Veranstalterin untersucht, ob Eintrittspreise vergangener Veranstaltungen mit der Zahl der Gäste zusammenhängen.
Was liefert eine Regression?
Die einfache lineare Regression bestimmt die Gerade, die Y anhand von X bestmöglich vorhersagt. Die Steigung beschreibt die Veränderung des vorhergesagten Y-Werts je Einheit X. R² ist der durch das Modell erklärte Anteil der Streuung von Y und liegt zwischen 0 und 1.
Wann ist der Rechner sinnvoll?
Verwenden Sie den Rechner, wenn für jede Person, jedes Produkt oder jeden Tag zwei Messwerte vorliegen und Sie deren Zusammenhang untersuchen möchten. Die erklärende Größe kann beispielsweise die Lernzeit oder das Werbebudget sein; die Zielgröße etwa die Prüfungspunktzahl oder der Umsatz. Der Rechner bestimmt die am besten passende Gerade durch Ihre Messpunkte und zeigt, wie gut sie die Daten beschreibt. Mit der Gleichung können Sie außerdem einen Zielwert für einen neuen X-Wert schätzen, den Sie noch nicht beobachtet haben.
Was bedeutet das Ergebnis?
Sie erhalten die Steigung, den Achsenabschnitt und das Bestimmtheitsmaß R². Die Steigung zeigt, um wie viel der vorhergesagte Zielwert steigt oder fällt, wenn X um eins zunimmt. Der Achsenabschnitt ist der vorhergesagte Wert bei X = 0. R² liegt zwischen 0 und 1 und gibt an, welchen Anteil der Streuung von Y die Gerade beschreibt: Bei 0,7 sind es 70 Prozent, bei 0,3 sind es 30 Prozent. Je näher R² an 1 liegt, desto besser passt die Gerade zu den beobachteten Werten. Ob die Anpassung für Ihren Zweck ausreicht, hängt vom Anwendungsgebiet ab.
Häufige Fehler vermeiden
Eine gute Anpassung beweist keine Ursache-Wirkungs-Beziehung; eine weitere Größe könnte beide Variablen beeinflussen. Achten Sie auf dieselbe Reihenfolge und Anzahl der Werte in beiden Listen, damit jedes Paar zusammengehört. Mit nur zwei oder drei Punkten ist eine Gerade wenig belastbar, verwenden Sie daher ausreichend Beobachtungen. Der Rechner modelliert nur lineare Zusammenhänge und kann gekrümmte Muster übersehen. Vermeiden Sie außerdem Vorhersagen weit außerhalb des beobachteten Wertebereichs: Dort muss der lineare Zusammenhang nicht mehr gelten.
So verwenden Sie diesen Rechner
- Geben Sie die erklärenden Werte X in das erste Feld ein, getrennt durch Kommas oder Zeilenumbrüche.
- Geben Sie die Zielwerte Y in das zweite Feld ein. Behalten Sie dieselbe Reihenfolge bei, damit jedes Wertepaar zusammenpasst.
- Prüfen Sie, ob beide Listen gleich viele Zahlen enthalten. Das Ergebnis wird automatisch berechnet.
- Lesen Sie Steigung und Achsenabschnitt ab, um die Gerade zu verstehen. Mit R² beurteilen Sie, wie gut sie zu den Daten passt.
Rechenbeispiel
Eine Lehrkraft erfasst Lernzeit und Prüfungspunkte von fünf Personen: 1, 2, 3, 4 und 5 Stunden sowie 52, 58, 63, 71 und 74 Punkte. Die Regressionsgerade lautet ungefähr: Punkte = 46,5 + 5,7 × Stunden. Jede zusätzliche Lernstunde geht in diesen Daten mit etwa 5,7 zusätzlichen Punkten einher. Die Anpassung ist mit R² ≈ 0,99 sehr gut. Für sechs Lernstunden würde die Gerade ungefähr 81 Punkte vorhersagen.
Häufig gestellte Fragen
Was gebe ich in die einzelnen Felder ein?
Tragen Sie die erklärenden Werte X in ein Feld und die zugehörigen Zielwerte Y in das andere ein. Trennen Sie die Werte durch Kommas oder Zeilenumbrüche und behalten Sie in beiden Listen dieselbe Reihenfolge bei.
Woher bekomme ich diese Zahlen?
Verwenden Sie Ihre eigenen Aufzeichnungen, etwa aus einer Tabelle, Umfrage oder Umsatzübersicht. Jede Zeile sollte zwei Messwerte derselben Person, desselben Tages oder desselben Objekts enthalten.
Was sagt die Steigung aus?
Die Steigung gibt an, um wie viel sich der vorhergesagte Zielwert verändert, wenn X um eine Einheit steigt. Bei einer Steigung von 5 steigt der vorhergesagte Wert beispielsweise um etwa 5 je zusätzlicher X-Einheit.
Welcher R²-Wert ist gut?
R² liegt hier zwischen 0 und 1 und gibt an, welchen Anteil der Streuung von Y die Gerade beschreibt. Bei 0,7 sind es 70 Prozent, bei 0,3 sind es 30 Prozent. Ob das für Ihren Zweck ausreicht, hängt vom Fachgebiet und von der Fragestellung ab. Ein allgemein gültiger Grenzwert lässt sich nicht festlegen.
Beweist ein starker Zusammenhang eine Ursache-Wirkungs-Beziehung?
Nein. Das Ergebnis zeigt lediglich einen statistischen Zusammenhang. Eine andere Größe könnte beide Variablen beeinflussen. Nutzen Sie den Zusammenhang als Hinweis, nicht als Beweis für eine Ursache.
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