z-Wert-Rechner
Standardisieren Sie einen Wert. Geben Sie den Einzelwert, den Mittelwert und die Standardabweichung ein, um den z-Wert zu berechnen.
So rechnen Sie selbst nachWerte eingeben
Die Ergebnisse werden während der Eingabe aktualisiert.
So geben Sie Ihre Daten ein
Geben Sie drei Zahlen in die jeweiligen Felder ein: den zu untersuchenden Einzelwert, den Mittelwert der Vergleichsgruppe und deren Standardabweichung. Die Standardabweichung muss größer als null sein. Verwenden Sie nur Zahlen, keine Wörter, Währungszeichen oder Prozentzeichen. Alle drei Angaben müssen sich auf dieselbe Messgröße und Einheit beziehen.
z-Wert
- Prozentrang (Normalverteilung)
- 93.3%
Der z-Wert zeigt, wie weit ein einzelner Wert über oder unter dem Durchschnitt liegt, gemessen in Standardabweichungen. Die Standardabweichung beschreibt die Streuung der Vergleichswerte. Ein z-Wert von 0 entspricht genau dem Durchschnitt, ein positiver Wert liegt darüber und ein negativer darunter. Je größer der Betrag des z-Werts, desto weiter liegt die Beobachtung vom Durchschnitt entfernt.
Selbst nachrechnen
Beispiel: Ein Wert von 85 stammt aus einer Verteilung mit dem Mittelwert 70 und der Standardabweichung 10.
Gehen Sie das Rechenbeispiel durch und wiederholen Sie die Schritte anschließend mit Ihren eigenen Zahlen.
Abstand vom Mittelwert bestimmen
x − Mittelwert = 85 − 70 = 15Durch die Standardabweichung teilen
z = (x − Mittelwert) ÷ SD = 15 ÷ 10 = 1,5Das Ergebnis in der ursprünglichen Einheit prüfen
Mittelwert + z × SD = 70 + 1,5 × 10 = 85Der Wert liegt 1,5 Standardabweichungen über dem Mittelwert. Ein negativer z-Wert läge darunter.
Den Prozentrang der Normalverteilung nachschlagen
Φ(1.5) × 100 ≈ 0.93319 × 100 ≈ 93.3%Eine Tabelle der Standardnormalverteilung liefert die Fläche unterhalb von 1,5. Dieser Prozentrang setzt eine Normalverteilung voraus; er wird nicht als Rang aus Rohdaten berechnet.
Ihre Ergebnisse aus PaperSurvey.io verwenden
Verwenden Sie Mittelwert und Standardabweichung einer Frage, um eine einzelne Antwort mit diesem Rechner zu standardisieren.
Anwendungsbereiche
- Lehrkräfte: Eine Lehrkraft verwendet den Mittelwert und die Standardabweichung einer Klassenarbeit, um ein einzelnes Prüfungsergebnis relativ zur Klasse einzuordnen.
- Kleine Unternehmen: Ein Cafébetreiber ermittelt Mittelwert und Standardabweichung der Tagesumsätze eines Monats, um zu prüfen, wie ungewöhnlich ein besonders ruhiger Tag war.
- Personalabteilungen und Teams für Mitarbeiterbefragungen: Eine Personalreferentin vergleicht die Zufriedenheitsbewertung einer Abteilung mit dem Unternehmensdurchschnitt und der Streuung der Abteilungswerte.
Was ist ein z-Wert?
Ein z-Wert gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert über oder unter dem Mittelwert liegt. Ein z-Wert von 0 entspricht genau dem Durchschnitt; +1 liegt eine Standardabweichung darüber. Durch diese Standardisierung lassen sich relative Positionen auf verschiedenen Skalen vergleichen.
Wann ist der Rechner sinnvoll?
Nutzen Sie diesen Rechner, um einen einzelnen Messwert im Verhältnis zu einer Vergleichsgruppe einzuordnen. Er eignet sich beispielsweise für Testergebnisse, Umfragebewertungen, Preise und Zeitmessungen. Statt nur zu vermuten, ob ein Wert hoch oder niedrig ist, erhalten Sie seinen Abstand vom Durchschnitt in einer einheitlichen Form. Dazu benötigen Sie einen aussagekräftigen Mittelwert und eine Standardabweichung der Vergleichsgruppe. Eine größere Datengrundlage, etwa zehn oder mehr Beobachtungen statt nur zwei oder drei, ist dafür meist hilfreicher.
Was bedeutet das Ergebnis?
Das Ergebnis ist der z-Wert. Null bedeutet, dass die Beobachtung genau dem Gruppenmittelwert entspricht. +1 liegt eine Standardabweichung darüber, −1 eine darunter. Bei annähernd normalverteilten Daten liegen ungefähr zwei Drittel der Werte zwischen −1 und +1 und etwa 95 % zwischen −2 und +2. Werte außerhalb von −2 bis +2 sind dann eher ungewöhnlich, Werte unter −3 oder über +3 besonders selten und einen genaueren Blick wert. Diese Häufigkeiten setzen die entsprechende Verteilungsform voraus.
Häufige Fehler vermeiden
Einzelwert, Mittelwert und Standardabweichung müssen dieselbe Messgröße und Einheit betreffen. Bestimmen Sie die Kennzahlen aus allen relevanten Beobachtungen, nicht nur aus besonders hohen oder niedrigen Werten. Prüfen Sie Ihre Eingaben auf Tippfehler wie eine zusätzliche Null. Ein großer positiver oder negativer z-Wert ist außerdem nicht automatisch gut oder schlecht; die Bedeutung hängt vom Kontext ab. Kennzahlen aus nur zwei oder drei Beobachtungen sind als Vergleichsgrundlage meist wenig belastbar.
So verwenden Sie diesen Rechner
- Bestimmen Sie den Mittelwert und die Standardabweichung Ihrer Vergleichsgruppe und tragen Sie beide in die vorgesehenen Felder ein.
- Prüfen Sie, ob die Eingaben ausschließlich Zahlen enthalten und ob die Standardabweichung größer als null ist. Verwenden Sie für alle Angaben dieselbe Einheit.
- Geben Sie den Einzelwert ein, den Sie mit der Gruppe vergleichen möchten.
- Lesen Sie den z-Wert ab: 0 entspricht dem Durchschnitt, positive Werte liegen darüber und negative darunter. Bei annähernder Normalverteilung sind Werte außerhalb von −2 bis +2 eher ungewöhnlich.
Rechenbeispiel
Fünf Geschäfte verkaufen 20, 22, 25, 28 und 30 Einheiten. Der Durchschnitt beträgt 25. Für diese fünf Geschäfte als vollständige Vergleichsgruppe ergibt sich eine Standardabweichung von ungefähr 3,69. Geben Sie für das Geschäft mit 30 verkauften Einheiten den Einzelwert 30, den Mittelwert 25 und die Standardabweichung 3,69 ein. Der z-Wert beträgt etwa 1,36: Das Geschäft liegt über dem Durchschnitt, aber nicht außergewöhnlich weit davon entfernt.
Häufig gestellte Fragen
Welche Zahlen gebe ich ein?
Sie benötigen den Einzelwert, den Sie einordnen möchten, sowie den Mittelwert und die Standardabweichung der Vergleichsgruppe. Berechnen Sie diese beiden Kennzahlen vorher aus Ihren Daten, beispielsweise aus den Prüfungsergebnissen einer Klasse oder den Bewertungen einer Umfrage.
Woher bekomme ich diese Zahlen?
Die Angaben stammen meist aus Ihren eigenen Daten, etwa einer Tabelle mit Prüfungsleistungen, Umsätzen oder Umfrageantworten. Aus PaperSurvey können Sie die erfassten Ergebnisse exportieren. Berechnen Sie daraus Mittelwert und Standardabweichung und tragen Sie diese zusammen mit dem zu untersuchenden Einzelwert hier ein.
Was bedeutet ein z-Wert von 0?
Der Einzelwert entspricht dann genau dem Durchschnitt der Vergleichsgruppe. Er liegt weder darüber noch darunter.
Ist ein hoher z-Wert gut oder schlecht?
Für sich genommen weder noch. Ein großer positiver Wert liegt weit über dem Durchschnitt, ein stark negativer weit darunter. Ob das gut oder schlecht ist, hängt davon ab, was Sie messen.
Wann ist ein Wert ungewöhnlich?
Bei annähernd normalverteilten Daten sind z-Werte zwischen −2 und +2 üblich. Werte außerhalb dieses Bereichs sind seltener, Werte unter −3 oder über +3 besonders selten. Für andere Verteilungsformen gelten diese Häufigkeitsaussagen nicht ohne Weiteres.
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